Monday, March 21, 2016

2-EGIPTO


El sistema egipcio: la civilización egipcia sufría periódicas inundaciones del Nilo que borraban los lindes de separación de la tierra y era preciso construir ángulos rectos para dibujarlas. 2500 años antes de Cristo lograron trazar perpendiculares, con segmentos que forman un ángulo recto (90 grados), por aquella época el transportador de ángulos no existía.
La palabra Geometría en Egipto alude a “medir la tierra”.
La geometría egipcia junto a la babilónica fue la precursora de la potente geometría griega.

Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo.
La palabra Geometría en Egipto alude a “medir la tierra”.

La geometría egipcia junto a la babilónica fue la precursora de la potente geometría griega.
Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores.
Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos.
Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el que más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo.
Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar:

• Las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo)
• La superficie del rectángulo
• Del rombo
• Del trapecio.

En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a pi un valor bastante aproximado.
En el Papiro de Rhind encontramos:
Los papiros nos han dejado constancia de que los egipcios situaban correctamente tres cuerpos geométricos: el cilindro, el tronco de la pirámide y la pirámide
Para conocer la matemática egipcia tiene un especial interés el papiro de Ahmes o papiro de Rhind, en honor al anticuario escocés que lo adquirió en un pequeño pueblo del Nilo.
Fue encontrado en las ruinas de Tebas, este fue comprado por Henry Rhind que tras 5 años de su compra murió y ahora este se encuentra el museo británico de Londres.
Este papiro comienza con la frase: “cálculo exacto para entrar en el conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”.
Algunos datos del papiro: mide 6m de largo y 33cm de ancho y representa la mejor fuente de información matemática egipcia conocida. Está escrito en hierático y consta de 87 problemas más su resolución. Este papiro nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, calculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales, y trigonometría básica. (En el papiro también aparecen algunos errores) su escritura parece Ahmes.
No se conoce el objetivo del papiro algunos piensan que son claras intenciones pedagógicas o un cuaderno de notas de algún alumno, aunque para nosotros representa una guía de matemáticas del antiguo Egipto.

Data de 1700 a.C. y en él aparecen:
• Problemas de repartos
• Problemas con el área de un triángulo isósceles
• Área de un trapecio isósceles
• Área de una circunferencia, con una forma similar a la actual, pero con π=3+1/6.
• El volumen de una pirámide de base cuadrada.
En otros papiros se encuentra
• El volumen de un tronco de cono
• Una buena aproximación del volumen de una esfera.
Uno de los más interesantes es el que compara el área de un círculo con la del cuadrado circunscrito.
Este problema tiene gran importancia por 2 razones. Por una parte representa el primer intento de una geometría basada en la utilización de figuras sencillas, cuyo área se conoce, para obtener el área de figuras más complicadas, y por otra parte puede ser la fuente del cálculo del área del círculo con un valor de pi = 3.1605

A medida que el polígono tiene más lados, el área se aproxima más a la del círculo.
¿Cuál es el área de un triángulo de lado 10 jet y base 4 jet?

Según está resuelto el problema, parece que el triángulo es isósceles y queda dividido en 2 partes iguales por la altura, con las que forma un rectángulo, siendo la altura lo que Ahmes llama lado. El escriba lo resuelve así: “Toma la mitad de 4 para formar un rectángulo. Multiplica 10 veces 2 y el resultado, 20, es el área buscada”.

Para las construcciones utilizaban cuerdas con nudos situados a la misma distancia. Para hacer triángulos rectángulos contaban 12 nudos. Luego hacían un triángulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5, en total 12, tal y como vemos en el dibujo. Pues bien, el ángulo que forman los lados 3 y 4 es recto siempre.
Pero también observaron que se podían duplicar, triplicar, y seguía siendo rectángulo. (6-8-10).
Los Egipcios manejaban números del orden de ciento de millar unos 3500 a. C.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos.

Para la construcción de las impresionantes pirámides, cubiertas de jeroglíficos, los egipcios obtienen fórmulas que aplican según sus necesidades. El enunciado de uno de los 28 problemas del papiro de Moscú, parece corroborar que los egipcios conocían la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide,

siendo a, b las longitudes de los lados de la base de la pirámide y h la altura.
EL PAPIRO DE MOSCÚ

También conocido como Papiro Golenischev es casi tan largo como el Papiro Rhid pero tan sólo de unos siete centímetros de ancho. Está escrito por un escriba desconocido de la dinastía XII (sobre 1890 a.C.) y fue comprado en Egipto en el año 1893, conservándose en Moscú, de ahí el nombre.
Se trata de una colección de veinticinco problemas resueltos, sobre cuestiones cotidianas, que no se diferencian mucho de los de Ahmés.
Compuesto en forma más descuidada que el anterior hay sin embargo dos problemas geométricos que revisten una importancia especial.
• El área de una superficie de lo que parece ser una cesta semiesférica de diámetro 4 1/2, y procede a calcularla, resultado sorprendente para la época.
• Una figura que parece representar un trapecio, pero los cálculos asociados indican que en realidad se trata de un tronco de pirámide cuyo volumen calcula.
Escritura egipcia

La piedra Roseta fue descubierta gracias a un oficial de Napoleón. En 1799 se descubrió una gran estela de basalto negro al lado de Roseta (Rashîd), Egipto, en el valle del Nilo. Fue expedida al Cairo a sabios franceses. En 1822 el arqueólogo francés Jean-François Champollion acabó de descifrar la escritura.
La piedra Roseta data de 195 a.C.


Para representar un número se incluían estos símbolos escribiéndolos, normalmente de derecha a izquierda, y representando tantos de cada uno como unidades tuviese el número.
El sistema es en base 10 pero no es posicional, sino aditivo.
Así, para representar el número 52 se escribía 2 veces uno y 5 veces 10 dando lugar a
.
Este sería el método más básico. Al igual que en la escritura se intentaba obtener una mejor representación gráfica, por lo que un número como 2235 nunca se escribiría
sino
Vemos como incluso en la escritura de números se complica la transliteración precisamente por ese intento de que las representaciones fuesen lo más estéticas posibles.
Si encontramos una representación del tipo: seria 966.
Cuando aparece más de un símbolo cardinal el conjunto debe leerse de arriba a abajo.
El jeroglífico empleado para un millón se utilizaba, también, para designar el concepto de infinito o mucho. Éste pronto cayó en desuso y se empleó otro método, consistente en representar el número como una serie de operaciones aritméticas (sumas y multiplicaciones) de valores inferiores.

FRESCO TUMBA SENEFER
Cuando el número a representar va seguido de un sustantivo se escribía primero el símbolo correspondiente al nombre y luego el número (en transcripciones se escriben los números 1 y 2 detrás del nombre y el resto antes que este). Así para representar 2 jarras emplearíamos (leyendo de izquierda a derecha):
El nombre puede aparecer en su forma singular o plural, pero nunca si el número es 1 ó 2, o si se refiere a indicaciones de tiempo o medida. En estos casos aparece, como regla general, en singular.

Hemos visto la representación jeroglífica de los números cardinales. La escritura hierática y la demótica diferían bastante de la jeroglífica. En este caso el sistema ya no es aditivo, sino que se trata de un sistema numeral codificado, que incluye símbolos para las primeras 9 unidades, 9 decenas, 9 centenas, etc. En la siguiente tabla se da una relación desde el 1 al 9000.
Para representar el número 5417, en hierática obtendríamos (leyendo de derecha a izquierda)
ARITMÉTICA. OPERACIONES BÁSICAS
Las operaciones básicas de suma y resta se limitaban a una combinación o cancelación de símbolos. La adición era la base del conocimiento matemático, puesto que las operaciones de multiplicación y división se basaban en adiciones.
Para sumar simplemente se añadían los símbolos correspondientes. Como los símbolos se podían repetir desde 1 a 9 veces, si se excedía de 9 se eliminaban todos y se añadía el siguiente. El funcionamiento es similar al ábaco.

Para la resta sencillamente se eliminaban los símbolos a restar. Si has usado alguna vez un ábaco chino, el funcionamiento es exactamente el mismo, pero en lugar de con columnas, con símbolos.
Las operaciones de multiplicación y división se basaban en el mismo proceso aditivo. Para multiplicar se empleaba un sistema de duplicación-adición, que requiere un poco de práctica. Se basa en la propiedad de que cualquier número natural puede expresarse como una suma de potencias de 2, que quizás los egipcios ya hubiesen descubierto por métodos empíricos.
Cuando se tenía que efectuar una multiplicación por 10, 100,1000,… sencillamente se desplazaban todos los símbolos una, dos, tres, … posiciones hacia la derecha según la tabla siguiente.
FRACCIONES
El uso de fracciones es sin duda el rasgo más peculiar de la matemática egipcia. El método empleado por los escribas para operar con fracciones es mucho más complicado que el nuestro. La base de la representación de una fracción se encontraba en la descomposición como suma de fracciones de numerador 1, todas distintas.

Era muy frecuente el uso de las fracciones denominadas “fracciones ojo de Horus”, que representaban cada una de las partes en las que fue seccionado el ojo de Horus durante su batalla con Seth.

• Las cejas equivalían a 1/8,
• La pupila era ¼
• La parte izquierda de la pupila 1/2,
• La parte derecha 1/16
• La parte inferior vertical bajo el ojo 1/32 y
• La parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64.
Las fracciones con numerador distinto de 1 se reducían a sumas de fracciones conocidas, con numerador 1, pero siempre los sumandos tenían que ser diferentes. Así Ahmes en el papiro Rhind escribe 2/5 como 1/3 + 1/15 y nunca se podría emplear 1/5 + 1/5. La propia expresión 2/5 no tenía sentido en el pensamiento egipcio. Cualquier cantidad se expresaba como una parte entera mas una suma de fracciones unitarias, y a lo sumo 2/3.
El símbolo “+” no se empleaba y las fracciones aparecían secuencialmente.
El papiro Rhind incluye, al principio, una tabla en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias. Como es lógico se eliminan las descomposiciones en las que el denominador es par.

En la descripción de los problemas del papiro Rhind pueden verse más ejemplos de problemas con fracciones.
Pero desgraciadamente hoy por hoy lo desconocemos.
CÓMIC SOBRE LAS MATEMÁTICAS EN EGIPTO
(del libro Historia de las Matemáticas (en Cómic). JOSÉ LUIS CARLAVILLA y GABRIEL FERNÁNDEZ. PROYECTO SUR DE EDICIONES)




TRIGONOMETRÍA
Aunque no se puede hablar de una trigonometría en un ámbito general de la matemática egipcia, queremos, en este capítulo, dar a conocer lo que podría denominarse una trigonometría rudimentaria y una pequeña teoría de triángulos semejantes que aparece el papiro Rhind. Así como en lo relativo a la aritmética o la geometría tenemos diferentes fuentes, aunque sean escasas, de trigonometría sólo disponemos del problema 56 del papiro Rhind.

Si nos planteamos las grandes edificaciones que llevaron a cabo los egipcios, fundamentalmente la construcción de pirámides, hay que tener en cuenta que, tal y como están construidas, era necesario disponer de algún mecanismo trigonométrico para resolver ciertos problemas de construcción. Un problema esencial en la construcción de estas era el de mantener la pendiente uniforme en cada una de las caras, y a su vez la misma en las 4 caras. Quizás esta necesidad es lo que llevó a los egipcios a emplear lo que denominaron “seqt”, equivalente a lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada.
En mediciones verticales empleaban el “codo” y en horizontales la mano, que equivalía a 1/7 del codo. Tal como aparece en el problema 56 del papiro de Ahmes en el que se pide calcular el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 de lado sería 5 1/25 manos por codo (la resolución exacta aparece en el Apéndice I ).
En el caso de la pirámide de Jufú (Queope) el seqt es 5 1/2 manos por codo.
UNIDADES, PESOS Y MEDIDAS
Damos a continuación un glosario de las unidades y términos empleados en la matemática egipcia. He intentado poner las equivalencias con unidades del S.I. Cuando no aparece esta equivalencia es porque no se conoce. Hay que tener en cuenta que las unidades variaron a lo largo del tiempo y su equivalencia no siempre fue la misma. Los valores que aparecen en el SI son los más corrientes.
Medidas de superficie
La unidad básica de superficie era el setat (sTAt) que equivalía a un cuadrado de lado 100 codos, es decir 10000 codos cuadrados. Para superficies menores se empleaban el remen (rmn) (1/2 setat), el hebes (Hbs) (1/4 de setat) y el sa (sA) (1/8 de setat), y además existía una medida llamada jata (xA-tA) que equivalía a 100 setat y se empleaba en grandes mediciones.

REINA NEFERTITI
Medidas de volumen
La unidad de capacidad era el heqat (HqAt), representado como el Ojo de Horus. Se empleaba para medir el trigo y la cebada fundamentalmente y equivalía a unos 4.8 litros. En mediciones más grandes, por ejemplo para almacenes, se empleaba una unidad que podríamos llamar “100 heqat cuádruples
El Oipe o ipet (ipt) contenía 4 heqat, es decir 19.22 litros. 5 Oipes formaban un jar (XAr)(~ 96 litros), es decir un jar eran 20 heqats (en algunos textos he visto la equivalencia a 16 heqats) y a 2/3 de codo cúbico. Una unidad común en la medida de grano era 100 oipes (20 jar). Existía además una unidad llamada Henu (hnw) que aparece en el papiro Rhind definida como 1/10 de heqat, por tanto unos 0.48 litros, empleada en la medición de perfumes normalmente, aunque parece que también se utilizó en medidas de grano. El ro (r) equivalía a 1/320 de heqat. Esta unidad se empleó sólo en medidas de grano. Cuando se medía el grano en heqats se usaban las fracciones ojo de Horus : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 y para medidas inferiores a 1/64 de heqat se empleaban mútiplos de ro, de modo que un ro contenía 5 medidas de 1/64 de heqat, y por tanto nunca se utilizaba 1/128 de heqat sino 2 1/2 ro, que era también el término empleado para designar las fracciones. Se empleaba el signo seguido del denominador de la fracción, puesto que sólo se utilizaban fracciones unitarias.
Medidas especiales de líquidos
Para medir líquidos se empleaban el Des (ds) o el Secha para la cerveza. Esta última era de muy poco contenido. Para el incienso usaban el Men (mn)y el Hebenet (hbnt). Para el vino se empleaba el Hebenet. No conozco las equivalencias en el SI.
Medidas de longitud

Cada división de la regla corresponde a un dedo
La unidad básica de longitud era el codo o cubit (mH). El codo original medía unos 457 mm.
A partir de la III dinastía se tomó como unidad de medida el codo real, que es el codo más un palmo y equivalía a unos 523 mm. Posteriormente, durante el periodo grecorromano se emplearon el codo griego (~ 462,5 mm) y el codo romano (~ 443,5 mm). El codo se dividía en 7 palmos o manos (Ssp).
Existían además otras unidades fraccionarias del codo, como el dedo (yeba) que representaba 1/28 de codo, es decir un cuarto de mano. El nebiu era un codo y medio y la vara (jet) o cuerda representaba 100 codos.
Para medidas de longitud grandes se empleaba el rio (iteru) equivalente a 10.5 km (unos 20.000 codos), aunque en algunos textos esta unidad aparece como inferior. El demen era una unidad un tanto curiosa; el doble demen equivalía a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 codo. Sería el equivalente a la raíz cuadrada de 2 codos, es decir 0.739 metros.

Medidas de peso
La unidad fundamental de peso era el Deben, empleada para intercambios y equivalía a 91 gramos, normalmente de cobre, aunque el valor de los productos podía aparecer expresado en debenes de oro o plata. El qedety era una décima parte de un deben. El Shat o anillo equivalía a medio deben.
Otras Unidades
Pesu: unidad que expresa la calidad del pan o la cerveza; se refiere al número de panes fabricados por unidad de peso de grano. Cuanto mayor es el pesu peor calidad tiene el producto fabricado. También se conoce como “fuerza”. Se media por el número de unidades que se fabricaban con un heqat. Si con un heqat de grano se fabricaban 20 barras de pan, entonces su pesu era 20.
Shaty: esta unidad es sólo conocida a través del papiro Rhind. En el problema 62 de este papiro se le asigna un valor de 1/12 de un deben de oro. Un deben de plata contiene 6 shaty y un deben de plomo (?) equivale a 3 shaty. Seqt: Pendiente de una superficie plana inclinada. En mediciones verticales empleaban el codo y en horizontales la mano, que equivalía a 1/7 del codo. El seqt se daba en manos por codos.
Setat: el setat era una medida de superficie y equivalía a un jet cuadrado, es decir 10.000 codos cuadrados. A veces se emplea el término griego aurora para designar el setat. Además en el papiro Rhind se emplean signos especiales para denotar 1/2, 1/4 y 1/8 de setat, que posiblemente tuvieron nombres especiales.

En la III dinastía la capital de Egipto se trasladó a Menfis, donde los faraones iniciaron la construcción de las pirámides. El arquitecto, pensador y científico Imhotep contruyó por orden del faraón Zoser (c.2737-2717 a.C) el monumento de Saqqara, una gran necrópolis integrada en una pirámide escalonada y este es el ejemplo más antiguo de la arquitectura monumental conservado hasta la actualidad.
No sería hasta, aproximadamente, el 2640 a.C, durante el mandato de Sneferu, primer faraón de la IV dinastía cuando se empezaran a construir pirámides con paredes lisas, creando así un edificio con la forma de un prisma perfecto.
Por otro lado Tales de Mileto ( 624-548 a.C) viajó en su juventud a Egipto donde aprendió la geometría de los sacerdotes, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas y de razonamientos deductivos.

Durante su estancia, el faraón le ordenó que midiese la altura de la pirámides, y este lo hizo de una forma muy simple con las sombras de un palito y la del monumento, pudiendo explicar así el llamado Teorema de Tales:
• Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C
• Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño en el mismo instante. = B
• Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A

La gran pirámide de Keops tiene como base un cuadrado de 230,35 m. de lado y una altura de 146,6 m., aunque sus medidas originales son difíciles de conocer con exactitud, ya que con la erosión originada por el viento y la arena, estas medidas han cambiado.
Pero lo más curioso es que si dividimos la mitad de la base entre la mitad de la altura nos da 1,5929….que años más tarde observaron que era el número áureo al que dedicaremos un apartado especial dentro de MATEMÁTICAS CON MUCHO ARTE.

También es importante observar que están orientadas según los puntos cardinales y no tenían brújulas.
Para la construcción de la pirámide de Keops se calcula que podría tener unos 2.300.000 bloques, con un peso medio de 2,5 toneladas cada uno.
Lo más probable es que el transporte de las piedras se realizase sobre trineos por el desierto y en barcas por el Nilo. Para colocar los bloques uno sobre otro, utilizaban rampas, que iban construyendo a medida que aumentaba la altura de la pirámide.
ARTE DECORATIVO
Las esculturas se caracterizaban principalmente por el hieratismo, la rigidez, las formas cúbicas y la frontalidad.
También es posible que en los constructores y decoradores del antiguo Egipto usasen algún tipo de teoría matemática de las proporciones. Se sabe que en torno al 600 a. C. investigadores egipcios midieron los relieves en Sakkara, en la tumba del faraón Zhoser, que fueron hechos hacia el 2800 a. C. Sobre esta base, construyeron un sistema de proporciones que más tarde fue ampliamente usado. Tal vez es este sistema lo que ahora podemos ver en muchos relieves egipcios como unas finas líneas sin un significado aparente.

En la Figura siguiente podemos ver un ejemplo típico de Lepsius (1849): Denkmaler aus – Agypten und – Athiopien.
El canon de los 18 puños
Dentro de la escultura y la pintura, eran muy importantes las proporciones. Estudiaremos en próximos capítulos distintas proporciones que están en las más importantes obras.
El Canon. Proviene del griego de la palabra Kanon que significa “regla” o “modelo”. En Bellas Artes el Canon es el conjunto de proporciones matemáticas que tiene una obra.
En el siglo XIX una expedición logró descubrir el “canon” que utilizaban los egipcios en sus obras y que es anterior al usado por los griegos.
Los conocimientos matemáticos de los egipcios son la base de la época Greco-Romana.

• La estatua-cubo: adaptación al bloque, sin salientes para evitar las roturas.
• Simetría y frontalidad. Reforzadas por la disposición de los brazos a los lados del torso y la rigidez de la nuca, que sujeta en posición central la cabeza.
• Los rostros son inexpresivos, con la mirada perdida en el infinito, dando lugar a imágenes frías y distantes, totalmente alejadas del espectador. Ojos almendrados. Mirada alta y fija al frente.
• El dolor y la alegría no existen en estas representaciones, las figuras parecen sorprendidas en algún desfile o ceremonia oficial.

FUENTES CONSULTADAS
Una Historia de las Matemáticas para Jóvenes. RICARDO MORENO y JOSÉ MANUEL VEGAS. Colección Vioteta 9. Editorial NIvola.
Historia de las Matemáticas (en Cómic). JOSÉ LUIS CARLAVILLA y GABRIEL FERNÁNDEZ. PROYECTO SUR DE EDICIONES
http://www.jimena.com/egipto/apartados/mates.htm
http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Egipto/Egipto.htm
http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/
http://www.personal.us.es/cmaza/egipto/index.htm
Boyer, Carl B. “Historia de la Matemática”. Alianza Universidad Textos.
García, Maria Antonia “La ciencia del Antiguo Egipto”, Cuadernos de Historia 16, número 226.
Gillings, Richard J. “Mathematics in the time of the pharaohs”, Cambridge, Massachusetts and London, the MIT Press, 1972.
Kline, Morris “El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días I.”
Robins, Gay & Shute Charles: “The Rhind Mathematical papyrus”. British Museum Press. 1987.
Toomer, G.J. “Mathematics and Astronomy. The legacy of Egypt” (Oxford 1971).
Waerden, BL van der “Science Awakening” (Groningen, 1954).
Waerden, BL van der “Geometry and Algebra in Ancient Civilizations” ( N.Y 1983).
“Referencias de imágenes”: es.wikipedia.org

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