Wednesday, May 13, 2015

Cuerdas



la teoría de cuerdas de tipo IIB, que resulta de la compactificación de la Teoría F, se manifiesta porque surge como el grupo de los grandes difeomorfismos del toro de dos dimensiones. 4+2= (1+1) + (3+1)
Posted by Julio Gonzalo Terres on Martes, 12 de mayo de 2015
la teoría de cuerdas de tipo IIB, que resulta de la compactificación de la Teoría F, se manifiesta porque surge como el grupo de los grandes difeomorfismos del toro de dos dimensiones. 4+2= (1+1) + (3+1)
El concepto de difeomorfismo es bastante bonito.

Imaginemos que tenemos dos espacios M y M', (que no tienen por qué ser espacios vectoriales, de hecho, en general serán variedades. En las variedades no podemos sumar sus elementos, al contrario que los espacios vectoriales donde la suma de sus elementos da otro elemento del espacio, la suma de dos vectores es otro vector.), además supondremos que estos espacios tienen la misma dimensión, para abreviar la dimensión será simplemente con cuantos números podemos identificar un punto de M o de M', (en nuestro espaciotiempo necesitamos cuatro, por lo tanto es de dimensión cuatro).


Ahora imaginemos que tenemos una aplicación \phi que toma puntos de M y los lanza a puntos de M'. Podemos pensar en \phi como un traductor, le damos un punto de M y nos dice que punto de M' le corresponde.

Como sabemos las aplicaciones pueden ser malvadas, a un mismo punto de M le pueden asignar distintos puntos de M', o distintos puntos de M pueden tener asignado el mismo punto de M' a través de la aplicación, etc. Esto es lo que lleva a la clasificación de aplicación inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Un difeomorfismo es aquella aplicación \phi que es biyectiva, es decir, la relación es uno a uno entre los puntos de M y de M'. Además ha de cumplir que es diferenciable, a groso modo que podemos definir sus derivadas de una manera natural y además cumple que la inversa de la aplicación, \phi^{-1} tambien es diferenciable (el que tenga inversa casi es evidente por ser biyectiva).

La cuestión es que el difeomorfismo hace que M y M' sean equivalentes, porque hay una traducción biunívoca entre las mismas. Básicamente el efecto del difeomorfismo es cambiar la apariencia de los espacios sobre los que actua.

Por poner algo visual, un difeomorfismo cambia la manera de ver las coordenadas de los espacios M y M', pero eso da igual, porque siempre podemos invertir la transformación por el difeomorfismo.



En la imagne se ven figuras que representan campos físicos, como se ve, podemos cambiar las coordenadas por difeomorfismos sin cambiar la distribución de los campos, eso es la imagen de una teoría invariante bajo difeomorfismos. Y conlleva a que la física no está comprometida con las coordenadas a pesar de que todas las formulaciones hacen un uso masivo de las mismas y nos da la impresión de que son vitales.

Relatividad General es aquella teoría donde todas las cantidades son covariantes bajo difeomorfismos. Covariante significa que aunque las cantidades cambien, por el "cambio de coordenadas" las ecuaciones físicas mantienen su forma original, algo parecido a lo que le pasa a F=ma cuando hacemos un cambio de sistema inercial, efectuamos el cambio, cambian las posiciones, cambian las velocidades, pero no cambia la aceleración y por tanto la fuerza, y F=ma sigue manteniendo al forma.

Las ecuaciones de RG tienen la particularidad de que no cambian cuando efectuamos un difeomorfismo en el espaciotiempo.

R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R=T_{\mu \nu}

conserva su forma bajo difeomorfismos.

Pero el espaciotiempo tiene una métrica asociada, g_{\mu \nu}, que es el aparato que usamos para medir distancias y ángulos, y por tanto áreas y volúmenes. Al efectuar un difeomorfismo la métrica cambia, pero las cantidades que construimos a través de ella, como las ecuaciones de Einstein de RG no.

Esto es muy importante, porque si una teoría es invariante bajo difeomorfismos implica que el concepto de punto bien definido por sus coordenadas pierde sentido. Cualquier sistema de coordenadas es válido si está conectado por un difeomorfismo, así que no tiene sentido hablar de coordenadas (x,y,z,t) ya que un difeomorfismo en general podría mezclarlas todas en otro sistema de coordenadas distinto. Por eso se dice que en relatividad general no tiene sentido global hablar del tiempo.

Esto en cuántica es mortifero, tal y como definimos la cuántica necesitamos de una coordenada t bien definida. Solo hay que ver como se calcula la probabilida de encontrar a una partícula que es una integral a t=const. El problema es que si no tenemos un t definido no podemos definir el producto interno y no podemos hacer cuántica tal y como la conoemos. Ese es el gran problema de la gravedad cuántica, por un lado RG te dice que no hay un t definido por causa de la invariancia bajo difeomorfismo y por otr la cuántica te exige hacer las cuentas a t=cte. Por lo tanto necesitamos de una teoría cuántica que esté definida para situaciones donde preservamos la invariancia bajo difeomorfismo y en eso anda la gente...

Espero haber sido más o menos claro, porque este tema es bastante delicado y yo aún no lo tengo claro del todo. 

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